Cos'è disuguaglianza di chebyshev?

Disuguaglianza di Chebyshev

La disuguaglianza di Chebyshev è un teorema di probabilità che fornisce un limite alla probabilità che una variabile casuale si discosti dal suo valore medio. In altre parole, stima la probabilità che una variabile casuale assuma un valore "lontano" dalla sua media. È importante sottolineare che la disuguaglianza di Chebyshev si applica a qualsiasi distribuzione di probabilità, purché la varianza sia finita.

Enunciato:

Sia X una variabile casuale con media μ (https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Media) e varianza σ² (https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Varianza). Allora, per qualsiasi numero reale positivo k, vale la seguente disuguaglianza:

P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²

oppure equivalentemente:

P(|X - μ| < kσ) ≥ 1 - 1/k²

Spiegazione:

• |X - μ| rappresenta la distanza tra la variabile casuale X e la sua media μ.

• kσ rappresenta un multiplo della deviazione standard σ (https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Deviazione%20Standard).

• La disuguaglianza afferma che la probabilità che X si trovi a una distanza di almeno k deviazioni standard dalla sua media è minore o uguale a 1/k². In altre parole, la probabilità che X sia "vicina" alla sua media (entro k deviazioni standard) è almeno 1 - 1/k².

Importanza e Utilità:

• Generalità: La disuguaglianza di Chebyshev è valida per qualsiasi distribuzione con media e varianza finite. Non richiede alcuna assunzione specifica sulla forma della distribuzione.
• Stima dei Limiti di Probabilità: Fornisce un limite superiore alla probabilità di eventi "estremi" (cioè valori lontani dalla media). Sebbene spesso i limiti ottenuti siano abbastanza laschi (cioè non molto precisi), sono comunque utili quando non si conosce la distribuzione specifica della variabile casuale.
• Fondamento Teorico: È utilizzata come base teorica per la legge dei grandi numeri (https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Legge%20dei%20Grandi%20Numeri) e il teorema del limite centrale (https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Teorema%20del%20Limite%20Centrale).

Esempio:

Supponiamo che una variabile casuale X abbia una media di 10 e una deviazione standard di 2. Vogliamo stimare la probabilità che X sia compresa tra 4 e 16.

Notiamo che 4 = 10 - 3 * 2 e 16 = 10 + 3 * 2. Pertanto, vogliamo stimare P(|X - 10| < 3 * 2).

Usando la disuguaglianza di Chebyshev con k = 3:

P(|X - 10| < 3 * 2) ≥ 1 - 1/3² = 1 - 1/9 = 8/9 ≈ 0.889

Quindi, la disuguaglianza di Chebyshev ci dice che la probabilità che X sia compresa tra 4 e 16 è almeno 88.9%.

Limitazioni:

• I limiti forniti dalla disuguaglianza di Chebyshev sono spesso piuttosto laschi, soprattutto per piccoli valori di k. Se si conosce la distribuzione specifica della variabile casuale, si possono ottenere stime più precise.
• Richiede la conoscenza della media e della varianza della variabile casuale.

In sintesi, la disuguaglianza di Chebyshev è uno strumento utile e generale per stimare limiti di probabilità, soprattutto quando si hanno informazioni limitate sulla distribuzione di una variabile casuale.